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哥德巴赫猜想

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

哥德巴赫猜想


哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。后来,他成了一名数学

家。

哥德巴赫和费尔马一样,很喜欢和别人通信讨论数学问题。不过,他在

数学上的成就和声望,远远不如费尔马,有的人甚至认为他不是数学家。其

实,有资料说,他是彼得堡科学院院士。

哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。他们

有 15 年以上的通信历史,经常讨论的是数学问题。

1742 年 6 月 7 日,哥德巴赫写信告诉欧拉,说他想冒险发表一个猜想:

“大于 5 的任何数是三个素数的和。”这里要顺便交待一句,有一个时期,

人们把 1 看成是特殊的素数;后来,才像今天这样,把 1 与素数严格区别开

来。同年 6 月 30 日,欧拉在给哥德巴赫的回信中说,他认为:“每一个偶数

都是两个素数之和,虽然我还不能证明它,但我确信这个论断是完全正确

的。”

这次通信的内容传播出来后,当时数学界把他们两人通信中谈到的问

题,叫做哥德巴赫问题。后来,它被归纳为:

命题 A:每一个大于或者等于 6 的偶数,都可以表示为两个奇素数的和;

命题 B:每一个大于或者等于 9 个奇数,都可以表示为三个奇素数的和。

这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想,实际上,应该是哥德奇巴赫——

欧拉猜想。比如

50=19+31,51=7+13+31

52=23+29,53=3+19+31


当然,表示方法可能是很多的。比如

50=3+47=7+43=13+37=19+31

很明显,如果命题 A 成立,那么,命题 B 也就成立。因为假设 N 是大于

或者等于 9 的奇数,那么,N-3 就是大于或者等于 6 的偶数。命题 A 成立,

就是存在着奇素数 P1 与 P2,使得 N-3=P1+P2,这就是 N=3+P1+P2,就像前面的

50 与 53 的关系一样。但反过来,如果证明了命题 B 成立,并不能保证命题 A

就一定成立。

19 世纪的很多大数学家,都研究过哥德巴赫猜想,但是进展不大。

1900 年,希尔伯特在巴黎国际数学家会议上,提出了 23 个研究题目,

这就是有名的希尔伯特问题,可以说这是 23 个大难题。哥德巴赫猜想命题 A,

与另外两个有关的问题一起,被概括为希尔伯特第八问题。

到了 1912 年,在第五届国际数学会议上,著名的数论大师兰道发言说,

哥德巴赫问题即使改成较弱的命题 C,也是现代数学家所力不能及的。

命题 C 意思是:不管是不超过 3 个,还是不超过 30 个,只要你想证明存

在着一个这样的正数 c,而能“使每一个大于或等于 2 的整数,都可以表示

为不超过 c 个素数之和”。

过了 9 年,到了 1921 年,著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学

会上说:哥德巴赫猜想的困难程度,可以与任何没有解决的数学问题相比拟。

哈代也认为是极其困难的,但是不像兰道说得那样绝对。

1930 年,苏联 25 岁的数学家西涅日尔曼,用他创造的“正密率法”,

证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题 C,还估算了这个数 c 不会

超过 S,并算出 S≤800000,人们称 S 为西涅日尔曼常数。

西涅日尔曼的成就震惊了世界。这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突

破。可惜他只活了 33 岁。

1930 年以后,包括兰道在内的很多数学家,竟相缩小 S 的估值,到 1937

年,得到 S≤67。

在 1937 年,哥德巴赫猜想的研究,又取得了新的成就。苏联著名的数学

家伊・维诺拉多夫,应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”,和他

自己创造的“三角和法”证明了:

充分大的奇数,都可以表示为三个奇素数之和。

伊・维诺格拉多夫基本上解决了命题 B,通常称为“三素数定理”。

坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想,正在被人们逐个攻破。

这里要注意,命题 B 所说的是每一个大于或者等于 9 的奇数,都可以表

示为三个奇数之和。数学家在证明这个命题时,往往把 9 放大到很大很大,

比方说放大到十万,人们只要证明每一个大于十万的奇数,都可以表示为三

个奇素数之和,就算基本上证明了命题 B。对于剩下的那一部分从九到十万

的有限个奇数,是否每个都可以表为三个奇素数之和,可以暂时不管,留待

以后去检验。所以叫做“基本上”证明了命题 B。

实际上,维诺格拉多夫未检验的有限个奇数,是 9 到 10 的 400 万次方之

间的奇数,即 1 后面跟 400 万个 0 那么多个数中的奇数。如果真要去逐个检

验每个是否能表为三个奇素数的和的话,那时还没有电子计算机,就算用现

在最快的电子计算机,从他那时算到现在也算不完。再说也没有那么大的素

数表供他使用。前面已经介绍过,现在最好的素数表才编到五千万。可见凡

是大于 10 的 400 万次的奇数都能表为三个奇素数之和,这点被证明了,这就


更不简单了。因为前面的那些奇数到底还是有限个,而这里证明了的是无穷

多个!

维诺格拉多夫的工作,相当于证明了西涅日尔曼常数 S≤4。

命题 B 基本上被解决了,于是有些不太了解数论情况的人,曾经认为只

差一步就到命题 A 了,谁知这一步的腿迈出了 40 多年,还没有着地哩!

有人核对过从 6 到 3300 万的任何偶数,都能表为两个奇素数之和。这种

核对工作是一直有人在作的。

有的人核对,是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数,即找到一

个反例,一举否定哥德巴赫猜想。这样,哥德巴赫猜想便宣告解决。

有的人核对,是想得到一些统计数字,摸清一些规律,为证明哥德巴赫

猜想作准备。

当然,也有人可同时兼有上述两种意图。

这里要注意,无论是从 6 算到 3300 万也好,还是从 6 算到 3300 亿也好,

都是有限个数。由这些有限个数统计出的任何数据,除非是反例,都是不能

用来当作证明的依据。

在命题 A 的研究过程中,人们引入了“殆素数”的概念。

什么叫殆素数?我们知道,除 1 以外的任何一个正整数,一定能表示成

若干个素数的乘积,这其中的每一个素数,都叫做这个正整数的一个素因子。

每一个正整数,相同的素因子要重复计算,它有多少个素因子,是一个确定

的数。如果这个正整数本身就是素数,就说它只有一个素因子。以 25 到 30

这六个数为例:

25=5×                             有 2 个素因子

26=2×13                           有 2 个素因子

27=3××                        有 3 个素因子

28=2××                        有 3 个素因子

29 是素数                        有 1 个素因子

30=2××                        有 3 个素因子

殆素数就是素因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一个固定常

数的自然数。例如 25 到 30 的六个数中,25、26、29 三个数,是素因子不超

过 2 的殆素数,其余三个不是。要是说素因子不超过 3 的数是殆素数,那这

六个数就是殆素数。

应用殆素数的概念,可以提出一个新命题 D,通过对这个命题的研究,

来接近命题 A。

命题 D:每一个充分大的偶数,都是素因子的个数不超过 m 与 n 的两个

殆素数之和。

这个命题简记为“m+n”。

注意,这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号,与 3+4=7 或者

1+2=3 毫无任何关系。就像有的电影院把座位 13 排 8 号简写作“13-8”,与

13-8=5 没有任何关系一样。

例如,“1+2”就是每个充分大的偶数,都可以表示成素因子的个数不超

过 1 个(即素数),与素因子的个数不超过 2 个的两个数的和。比如 100=23+7

×11,434=31+13×31,168=79+89 等都是合乎要求的。如果能证明,凡是比

某一个正整数大的任何偶数都能像这样,表示成一个素数加以两个素数相

乘,或者表示成一个素数加上一个素数,就算证明了“1+2”。


如果能证明“1+1”,就基本上证明了命题 A,也就是基本上解决了哥德

巴赫猜想。等到那时,哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了。——人们已经

为此奋斗了将近 240 年。

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