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影子的数学应用

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

影子的数学应用


自古以来,人们仰望遥远的天空时,就会情不自禁地想道:“天到底有

多高呢?”

由于天高不可测,人们便想知道,挂在天空的太阳离地到底有多远。孔

子不能回答“小儿辩日”的问题,然而,初生的牛犊不怕虎,有一个儿童却

敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。

约在公元 300 年,晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道:“长安

离我们这儿远,还是太阳离我们这儿远?”司马绍回答:“太阳。因为:有

闻客自长安来,却未闻有人从日边来。”元帝很高兴,第二天在宴会上说起

这件事,当时别人又问司马绍一遍相同的问题,可是他却回答“长安远”。

这下让元帝大为扫兴,正要提示,只见司马绍不慌不忙地补充说:“举目见

日,不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜,登时四座惊服。司马绍才思

敏捷,后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名

喻。

那么,到底是长安远还是太阳远,科学家们却是用具体的数学来说话。

长安在大地上,自然有办法丈量,而那个太阳高悬在空中,要测量它离我们

这儿有多远就很难了。然而,人类的智慧到底还是征服了大自然。

这就是利用“影子”。

一首题为《影子》的诗写道:“岂能依此长短,判定人的高矮!”这首

诗只有寥寥 12 个字,却揭示了一条深刻的哲理,它寓含于科学与人生之中,

就影子本身来说,它貌不惊人,从来都是某种物体的附属品,又是虚无阴暗

的代表,习惯被人瞧不起,认为是毫无价值的、空洞的,甚至把它的存在也

看成是多余的。然而,我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢?诚然,大自

然的奇观五光十色,令人眼光缭乱,有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊!

对于张目可见的影子实在不屑一提。可是,真正的科学家却不认为影子毫无

用处,因为他们早就理解了其中的哲理,明白了衡量一件事物的价值是不能

光凭外感来做标准的。

不是吗?因为有了影子,人类才揭示了日食的秘密,同时,光学之中出

现了成像原理,微积分学中有了变化率,测量学中有了测高望远之术,定时

装置中有了日晷……

早在公元前 6 世纪,古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战

火中受难的百姓,据说当时美地亚和吕地亚国(位于现今土耳其西部)发生

战争,连续五年未分胜负,满目疮痍,哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。

塔利斯目睹惨景,便去游说两国首领,晓以利害,建议停战,但均遭到冷遇。

于是,他便扬言,上天反对战乱,某月某日利用日食作为警告。果然到了那

天,两军正在酣战,突然太阳失去光辉,白昼顿时成了黑夜,双方将领大为

恐慌,从此罢战言和。

这个传说当然未必可信,因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时

间是值得怀疑的,但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用;而塔利斯深知影

子的妙用,因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题:即金字塔有多高?

当时,埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然,要求答案是准确可

靠的,如果信口开河,无根据地胡诌一个数,这会要受到惩罚的。因此,在

很长一段时间里没有人应征。终于有一天,金字塔前人山人海,争相目睹塔


利斯的测高表演。首先,他在广场上竖立一根木棍,在日光照耀下,顺着影

子从木棍的底部引出一条直线,量线长等于木棍高的地方做一个记号;他目

不转睛地注视着影子的变化,当棍顶的影子与记号重合时,立即快步跑到金

字塔塔顶的影子处去做一个标志;他认为,木棍影长与棍长相等时,塔高就

应该等于塔影长的,只需量塔影长就知道塔高了。

是的,这个方法很简单,他的原理也是容易被接受的。可是,当他量了

塔影的部分长度(全部长度应是从塔中心开始,而有一部分处于底盘位置),

准备再去量取金字塔底盘的宽度时,有人喊叫起来:“塔利斯的测量不准!”

等他弄清是怎么回事时,不禁皱起眉头,看看影子,叹了口气!原来,就在

他跑去设立塔顶影子的标志时,木棍的影子又变动了;而且,由于金字塔的

底盘很大,需要量取底盘宽度,以便确定中心到边界的距离,按这距离加上

所见影子的长度才是塔高,本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行,

现在方向又偏移了,因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”,而

是底盘很大的金字塔。

塔利斯虽然第一次尝试失败了,但后来,却利用影子不停息地移动的性

质巧妙地进行了新的尝试:观测两次,第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置

a 和 A,第二次 b 和 B,那么,AB∶ab 就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知,

自然就容易求出塔高来。

人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧,无不叹为观止。然而,一座塔、一

棵树,甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度,却没有人敢想象更高

的物体,譬如说太阳,它到底有多高呢?

富于幻想的科学家想到,既然太阳是挂在天上的,日高也就是高了。那

末,谁能够测得日高呢?

第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽(公元 3 世纪),赵爽

在作《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题,他

绘制了一幅《日高图》,在平地上面立两表(表即“杆”的意思),日照下

显出影长 AB 和 CD,作 CE=AB,则 ED 为两影长度之差;接着他证明“黄甲”

与“黄乙”的面积相等,而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积,用影

差作为黄乙的宽去除黄甲面积,便得黄乙的长,它的上端与日头相齐,加上

表高,就是日高了。

赵爽测日高的方法可用下式表示:



FD =


GA • AC

ED


+ GA


固然,由于地面不是很平的,而且表高与表间距离相对于日高来说过于

微小,所以测得的日高是不够准确的。但是,赵爽却为后人提供了一种极为

先进的测高望远之术。

历史的发展必然会使科学不断进步,就在赵爽之后几十年,与其同世纪

的刘徽提出一种重差理论,发明了“重差术”,“重”就是重复,“差”是

日照影子长度的差值,说明只需测两次求日影的差,就可以算出距离。刘徽

对赵爽的日高测量法作了比较大的发挥,他认为,重差法用测日高可能不准

确,但是,用于测量一座山、一座塔的高度却是游刃有余;特别是用于测量

“可望不可即”的景物更是别开生面,譬如说在大陆要隔海测量海岛高度就

可以用这种方法。


d =


AC • AB

ED


刘徽对影子的研究,使测高望远之术更加向前推进了一步。

无独有偶。赵爽创立用影子的有关数据进行测量的方法,不但被刘徽推

广和发挥,在外国也有惊人的成果。例如,1569 年在威尼斯出版的一本书上

绘制的图,所说明的测量建筑物高度的方法,其原理与《海岛算经》的《望

海岛》题一样;此外,明末时期,意大利传教士利玛窦来我国,曾口授《测

量法义》一书,也记载有与《望海岛》相类似的题目。外国的成果与刘徽方

法大同小异,虽不能说他们的成果是源自刘徽,然而,这已是 16、17 世纪的

事了,而刘徽的“重差术”却在他们一千多年前已研究出来了。

有人追溯更早期利用影子测量景物的方法,可溯源至古埃及或古印度的

时代,但是,除职像塔利斯那样的传说之外,基本上已没有什么当时的文献

可查。而在欧洲,虽然有许多利用影子原理的测量的方法记载在数学书籍或

某些文学作品中(例如凡尔纳在小说《神秘岛》中描述了算术测峭壁的高度),

也多半是近代的事;像 16 世纪威尼斯出版的那本书则是很少见的。

人的自身能力是有限的,不能直接去丈量海岛的高度,更无法量出至海

岛的距离,然而,凭借影子,却能把理想(甚至可以称为幻想)变成现实。

如果我们回味那首短短的《影子》诗,就能悟出一番真谛。

人们在研究影子的功用时,也曾出现一些疑点,例如有人怀疑塔利斯第

一次应用木棍的影子测量金子塔高度的原理是否正确。

木棍比金字塔矮得多,木棍的影长等于棍子高度时,α =45°,但此时β

不是 45°,说明金字塔影长并不就是它的高度。那么,为什么可以认为塔利

斯的方法是可行的呢?

道理很明显,因为木棍与金字塔的距离相对于与太阳的距离来说太微不

足道了,因此太阳射至木棍和塔的光线可以认为是平行的,这也是赵爽方法

实际上不能用于测日高的原因之一。从另一方面看,如果光源很近(例如是

一盏灯),塔利斯的方法就不实用了,而刘徽的方法却是可行的。

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