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“虚幻之数”

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

   

虚幻之数


要让人类接受到一种新数,开始往往是非常困难的,甚至还曾经有人为

此丢了性命。第一个发现无理数的人古希腊人希帕索斯就被毕达哥拉斯的忠

实信徒们抛进大海喂了鲨鱼。负数虽然没有弄出人命,但是也在好几个世纪


中把欧洲的数学家们搞得六神无主晕头转向。大名鼎鼎的英国数学家、牛津

大学教授瓦里斯曾经因为负数闹了一个大笑话,他说:“负数比无穷大还要

大”,连后来的大数学家欧拉,也对此深信不疑!直至 19 世纪时,有些数学

家如德・摩根、马塞勒还说负数“十分荒唐”,主张把它“从代数里驱逐出

去!”

正当欧洲数学家们被无理数和负数弄得晕头转向还没有完全清醒过来的

时候,新的问题又来了,他们遇到了一种更为奇怪的数,就是负数开平方。

比如解方程x2 + 1 = 0,移项得x2 = -1最后解出x = ± −1。试问,哪一个数(这

儿当然指的是实数)的平方能够等于 - 1呢? − 1究竟有什么实际意义呢?

最初遇到这种数的人,是法国的舒开。然而第一个认真讨论这种数的,

却是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”、三次方程解法获得者之一的卡丹。

卡丹在 1545 年提出一个问题:“把 10 分成两部分,使它们的面积是 40。”

他列出方程 x(10-x)=40 整理后得 x2-10x+40=0,结果解出这两个根是

5 + − 15,5 − − 15。卡丹觉得奇怪,称 − 15是诡辩量,并且自我解

嘲地说:尽管我的良心会受到多大的责备,但是,的的确确5 + − 15乘

5 − − 15刚好是40!

差不多过了 100 年,1637 年,解析几何的创始人笛卡儿才给这种“虚幻

之数”取了一个名字叫“虚数”(和“实数”相对)。又过了 140 年,大数

学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”,并且用 i(imaginary 虚

幻)来表示它的单位 − 1。

牛津大学教授瓦里斯具有丰富的想象力,给虚数找到了一个更巧妙的“解

释”“假设某人欠别人 10 亩地,即他有-10 亩,而这-10 亩地又恰好是个正

方形,那么它的边长不就是 − 10了吗?

最有名的是莱布尼兹评论虚数时一段颇带神秘色彩的话:“圣灵在分析

的奇观中找到了超凡的显示,这就是那个理想世界的端兆,那个介于存在与

不存在之间的两栖怪物,那个我们称之为虚的-1 的平方根。”看,虚数竟成

了上不着天、下不着地的“两栖怪物”!

虚数从开始出现以后,经过了两个世纪,还是得不到人们的正式承认。

大家都知道,把一个实数和一个纯虚数相加,得到形式如 a+bi 的这种

数,叫做复数。复数这个名词是德国数学家高斯先提出的。高斯虽然感到这

种数有点虚无缥缈,但又觉得它很有可爱之处。你看,如果不承认这种数,

代数方程便有的无解,有的一个解,有的两个解……五花八门,毫无规律可

言;如果承认了它,代数方程就都有解,而且 n 次方程不多不少恰好有 n 个

解!此外,对复数进行代数运算,其结果还是复数(实数和纯虚数只是复数

的特例),这样便形成了一个完整的数域。

复数既然有这么多的“优越性”,为什么数学家对它总是疑虑层层、迟

迟不接受呢?直至 19 世纪中期,剑桥大学的教授们仍然抱着“厌恶”的心情,

对它进行抵制。简单点说,就是因为这种数“看不见”,同时也“用不上”,

缺乏实践的基础。

为此立功的是挪威测量学家末塞尔,他找到了复数的几何表示法。众所

周知,所有实数都可以用直线上的点来表示,正数用 0 右边的点来表示,负

数用0左边的点表示;无理数如 2,可以用单位边长的正方形的对角线长度

来表示。因为“看得见”,大家才不得不承认了负数和无理数。末塞尔发现,


所有复数 a+bi 都可以用平面上的点来表示,而且复数 a+bi 与平面上的点一

一对应。这样一来,复数就找到了一个“立足之地”,而且开始在地图测绘

学上找到了它应用的价值。

同时,数学家又找到了复数的三角表示法 r(cosθ+sinθ),其中 r 叫

做复数的模,θ叫做幅角。后来又找到了复数的指数表示法 reQ(e 表示自然

对数的底)。即复数 z=a+bi=r(cosθ+isinθ)=reQ。若令 r=1,θ=π,就

可以得到 ein=1,即 eiπ-1=0,这个著名的式子是欧拉得到的,它把数学中五

个最重要的数 1,0,i,π,e 溶为一体,被誉为整个数学中最卓越的公式之

一。

复数在几何上找到了它的位置以后,人们对它就另眼相看了。从 18 世纪

末起,以欧拉为首的一些数学家,开始发展一门新的数学分支,叫做复变函

数论。大家都学过函数,但在中学里,函数自变量的取值范围仅限于实数。

如果把函数自变量 z 的取值范围扩大到复数,那么这种函数就叫做复变函

数。即复变函数 W=f(z),其中 z,W 都是复数。

一个复数如果可以表示为平面上的一个点,那么自变量 z 的取值范围就

是平面上的一个点的集合,相应的函数 W 的取值范围却是另一个平面上的一

个点的集合。从几何角度来看,所谓复变函数,就是把甲平面上的一个图形

A(点的集合)变换成乙平面上的一个图形 B(也是点的集合)。研究复变函

数性质的这一门科学,就是复变函数论。19 世纪以后,由于法国数学家柯西、

德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯的巨大贡献,复变函数论取得了飞跃的发展,

并且广泛的运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理学等方

面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门取得重大成就的,是俄罗斯

的“航空之父”儒可夫斯基。

尼古拉・叶哥洛维奇・儒可夫斯基 1847 年 1 月 17 日生于俄国弗拉基米

尔省,21 岁毕业于莫斯科大学的应用数学专业。他具备多方面的才能,特别

在航空专业方面很有造诣,后来就专门从事飞行的研究。

1890 年,儒可夫斯基在俄国自然科学家会议上作了《关于飞行的理论》

的演说。第二年便写出了有名的关于飞行的著作《论鸟之飞翔》。他在长期

的观察和研究过程中,发现了鸟类飞行的许多奥秘,即作出了一个大胆的预

言:飞机可以在空中“翻筋斗”,当时不少人对他的预言都持怀疑态度,根

本没有哪一个飞行员敢于冒险去尝试。十多年以后,陆军中尉聂斯切洛夫做

了世界上第一次飞机空中“翻筋斗”的飞行动作,以后这种特技飞行就称为

“聂斯切洛夫筋斗”。儒可夫斯基的预言被证实了,他的预言就是根据复变

函数的理论计算出来的。

在儒可夫斯基生长的时代,飞机刚刚飞上了天。飞机为什么能飞上天,

它应该怎样设计,怎样改进,这一切一切找不到可靠的理论根据,全凭实验

来摸索,特别是无法运用数学这个有力工具。由于盲目的实践,所以成功的

机会很少,失败的时候居多。一般的科学家都认为,飞行这门学问只能以实

验为基础。莫斯科航空学校校长勃劳茨就曾经说过:“要想依靠数学来建立

航空学的某些定律,是很危险的事情。”

儒可夫斯基却不相信这一套。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着

的气流分子,于 1906 年(就是莱特兄弟的飞机飞上天空后的第三年)发表了

论文《论连接涡流》,成功地解决了空气动力学的主要问题,创立了以空气

动力学为基础的机翼升降原理,并找到了计算飞机翼型的方法。这一切的成


就,都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”,以及由它延伸出来

的复变函数论。

儒可夫斯基翼型,依赖于有名的儒可夫斯基变换,这是一个公式线性的

复变函数



W =


1

2


( z +


a2

z


)


其中 z 为自变量,W 为函数 a 是一个常数。前面说过,当自变量 z 的取

值范围是平面上一个点集时,函数 W 的取值范围是另一平面上的一个点集。

复变函数 z 平面上一个图形 A 变换成 W 平面上的一个图 B(这种变换又称为

“转绘”)。上述儒可夫斯基变换,能把 z 平面上以 P(P 不在坐标轴上)为

圆心的圆,变成 W 平面上飞机翼型的截面图。这个翼型就是有名的儒可夫斯

基翼型。

实际上,儒可夫斯基从理论上提出的这个翼型,要想完全照样制作是比

较困难的。实际使用的翼型是根据实验而描出的经验曲线制作的。但是,由

于这种理论上的翼型能够用解析式完美地表达出来,对具有这种假想翼型的

飞机性能就可以作充分的计算或估计,然后把计算的结果和实际的翼型作比

较,就可以为设计出各种优良翼型提供资料。总之,有了理论的翼型,就可

以指导我们的实践,在制作翼型的过程中避免盲目性。所以儒可夫斯基翼型

在航空工程学上有着重要的意义,从而为从事这项工作的人们所熟悉。1916

年儒可夫斯基的重要著作《航空理论基础》被译成法文,成为航空工程师和

飞机设计家的必备手册。

然而,另外有一个中学老师声称也会解三次方程,他便是塔塔利亚。

塔塔利亚是 16 世纪意大利著名的靠自学成才的数学家,为三次方程求解

做出了杰出的贡献。

塔塔利亚原名方塔那,出生于意大利北部的布里西亚,父亲在邮局任职。

他幼年时,正值意大利与法国交战。有一次父母带他逃到天主教堂避难。法

军闯进教堂,杀死他的父亲,方塔那的头部也受了重伤。是母亲在尸骸堆中

找到他,由于伤势过重,加上神经受到刺激,伤愈后说话不灵,吐字不清,

于是得了个绰号叫“塔塔利亚”(意大利语,结巴之意)。后来他就以此绰

号为笔名发表文章。

塔塔利亚由于幼年丧父,家境贫寒。因而经济拮据,没钱买文具纸张,

母亲就把丈夫坟墓上的青石碑当做石板,教孩子在上面写写画画,认字学算

术。小塔塔利亚天资智慧,勤奋刻苦,在数学上很有造诣,成年后就在意大

利各地教授数学并以此来维持生活。他曾将欧几里得的《几何原本》译成意

大利文,还发表了不少军事科学著作和数学论著,特别是成功地把数学理论

应用于动力学中,对后来成为世界著名的物理学家的伽利略有着重要的影

响。

1530 年,布里西亚一位中学数学教师科拉向塔塔利亚提出了两个挑战性

的问题:

第一,试求一个数,其立方加上它的平方之二倍等于 5(即求满足方程

x3+3x2=5 的 x 值)。

第二,试求三个数,其中第二个数比第一个数大 2,第三个数又比第二

个 数 大 2 , 三 数 之 积 等 于 1000[ 即 求 解 方 程 x( x+2 )( x+4) =1000 ,

x3+6x2+8x=1000]。


当时,类似这样的三次方程都在数学界的禁区之内,没有人敢去问津。

塔塔利亚出于好奇心,跃跃欲试,经过一番推演,居然得出了答案,即:



x =3


1

2


(3 + 5) +3 (3 − 5) − 1


.

 
= 10380340



3


27          500    250000 

 

+

 
x =


3


500 + 250000 −


64


64

27


− 2


= 8.1333260

塔塔利业求出了这两道题的实根后,并没有公布自己的解法。但从此以

后,塔塔利亚在数学领域便开始崭露头角。

费罗的学生菲俄听说塔塔利亚解出了科拉的三次方程,心中很不服。他

和塔塔利亚约定,于 1535 年 2 月 22 日在米兰市大教堂进行一场公开的数学

竞赛。当塔塔利亚得知菲俄是费罗教授登堂入室的弟子时,心想,竞赛时菲

俄难免会拿三次方程来为难自己,切不可掉以轻心。于是,他苦心钻研三次

方程的解法,昼夜不停的运算,却毫无进展。比赛日期渐渐迫近,塔塔利亚

心急如焚、惶恐不安。2 月 11 日,他伏案通宵,钻研到第二天早上。当他走

出户外呼吸一口新鲜空气的时候,多日冥思苦想得不到解答的问题,竟豁然

开朗,终于找到了进一步解决三次方程的办法。塔塔利亚回忆说:“我运用

了自己的一切努力、勤勉和技巧,以便取得解这些方程的法测。结果很好,

我在规定的期限前十天,即 2 月 12 日,就做到了这点。”

2 月 22 日,米兰的大教堂热闹非凡,大家都等着看竞赛。比赛开始了,

双方各出了 30 个三次方程的题目,其中包括 x3+mx=n 类型的方程。这些难题,

使前来观阵的人们无不摇头咂舌,迷惑不解。可是,不到两个小时,塔塔利

亚便出人意料地宣布,30 个题已全部解答出来了。众人瞠目结舌,心中却是

赞叹不已。然而菲俄却一筹莫展,一道题也未解出。最后塔塔利亚以 30∶0

大获全胜。

消息一经传出,极大地震惊了数学界。塔塔利亚在获胜之后,再接再励,

继续钻研。终于在 1541 年得到了三次方程的公式解,打开了僵持了 700 多年

的局面。

一般一元三次方程的形式如



y3 + by2 + cy + d = 0,设y = x −


b

3


,代入原方程化简后得:



x  + (c 

 

        + d) = 0

 
3


b2

3


) x + (


2b3 bc

27   3



        + d

 
令p = c −


b 2

2


,q =


2b3 bc

27   3


 

tu = ( 3)  (3)

 
得新方程:x3+px2+q=0(1)

在此,只须研究这样类型的三次方程就行了。

卡尔丹的办法,是引入两个新变量 t 与 u。

t − u = −q(2)

p 3



2 2 + 43)则为:(t  u) 2 + 4tu = (q) 2 + 4(        )

 

化简得:( t + u) 2 = q 2 + 4(   ) 3 

 

t + u =     q 2 + 4(   ) 3 4

 
p3    3

3

p

3

p

3

(2)与(4)联立,可得:


t =      +   (   ) 2 + 4(   ) 3

 

 

u = 2 +   ( 2 )   + 4( 3)

 
              q            q                p

            2            2                3

         q            q   2           p 3

这里 t、u 只取正根。


(5)



卡尔丹用几何方法证明:x =3


t −3 u(6)


即为方程(1)的一个解。我们可以用牛顿二项式定理验证(6)式成立:



x3 = (3 t −3


u) 3



= t − 3( 3 t ) 2


•


3


u + 33 t ( 3 u )2 − u



= (t − u) − 33 t


3


u( 3 t − 3 u )



= −q − 3 •


q

3


x


= −q − px

即证明 x3+px+q=0

将(5)、(6)式结合起来可得到:



+   (   ) 2 + 4(   ) 3 +             (   ) 2 + 4(   )3 7

 
x =     −


q    q      p       q    q      p

2    2 3       2    2 3



这就是塔塔利亚——卡尔丹公式。它又可以化简为:



D +3    

 
x =3



q         q

2          2


− D (8)



这里D = (   )2 + (   ) 3 是三次方程的判别式:

 

有三重零根;若(   )2  = (   ) 3  0,有三个实根,其中两个不相等。

 
q             p

2             3

D>0 时,有一实根二虚根。D<0 时,有三个实根。D=0 时,若 P=q=0,

q             p

2              3

三次方程(1)应当有三个根,但卡尔丹只求出实根,是不完全的。直到

1732 年欧拉才得到求出全部根的方法。如果ω、ω 2 表示 1 的两个立方虚根,

即方程 2+x+1=0 的两个根,则 t 和 u 的立方根写全了分别应为:



3


t ,3 tw 2 ,3 tw 2和 3 uw ,3 uw 2



这样,方程(1)的全部根应为:



+     D + 3       D

 
x1 = 3 −


q

2


q

2



D + w 2 3 

 
x2 = w3 −


q           q

2            2


− D



+   D + w3         D

 
X3 = w 2 3 −


q

2


q

2



最后,由前设y = x −


b

3


,则可求出一般一元三次方程的根(y值)。

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