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抽象代数学的诞生

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

抽象代数学的诞生


伽罗华于 1811 年 10 月 26 日,出生在法国巴黎附近的一个小市镇上。他

从 16 岁起,就致力于五次以上方程的根式解法的研究。

伽罗华不仅对前辈数学家拉格朗日等的工作,有深入的学习和了解;而

且对同时代的数学家阿贝尔等的成果,也有研究和认识。他是在前人的基础

上,走上一条崭新的道路的。

1828 年,17 岁的中学生伽罗华认为自己得到了重大的成果。他写出论

文,把它送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院,要求审查。

那年 6 月 1 日,在法兰西科学院的例会上,曾决定由当时的大数学家柯

西与波阿松,审查这位中学生的论文。但是,那位法国和世界最有名望的大

数学家之一的柯西,根本不重视这件事,他把伽罗华的论文给弄丢了。

伽罗华还在继续研究。1829 年,他又写了一些重要论文,于 1830 年第

二次把论文提交法国科学院审查。这一回,科学院决定由著名的数学家富里

埃审查。可是 62 岁的富里埃,就在那年离开了人世。人们不但不知道富里埃

的审查意见,而且在他的遗物中,没有找到伽罗华的论文,显然是又弄丢了。

伽罗华曾对此提出了意见。

幸好,第一次应该和柯西一道负责审查伽罗华论文的那位科学院院士波


阿松,注意到了伽罗华的稿件一再被丢失的情况,劝他重写一份。1831 年,

伽罗华把重写的论文,第三次交给法国科学院。

热心的波阿松,亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月,可

是看不懂。波阿松只好在他签署的审查意见上,说自己“完全不能理解”。

当代杰出的数学家波阿松都说他不能理解,怎么办呢?看来,伽罗华应

该把自己的论文写得通俗一些,详细一些。

但是,伽罗华不可能有更多的时间和精力来充分阐述自己的观点了。因

为他是一个忧国忧民的青年,正在参加当时法国如火如荼的政治斗争。

当时法国的形势是这样的:1830 年六七月间,国王查理一世因为违反和

破坏了宪法,被愤怒的巴黎群众赶走了。可是前门驱狼,后门进虎,“波旁

王朝”被推翻,奥尔良公爵路易——菲力浦,却趁机当上了国王,建立了“七

月王朝”。这时伽罗华正在投考大学。

和高斯的情况正好相反。伽罗华在世的时候,很少有人认为他是“天才”

或者“神童”什么的。后来,人们谈起伽罗华来,有的老师说:“他没有智

慧,不然就是他把他的智慧隐藏得太好了,使我简直没法子去发现它。”有

的老师干脆说:“他什么也不懂。”

当时,巴黎最著名的大学是工科大学和高等师范学校。伽罗华很想读工

科大学,但是两次都没考上。在第二次考工科大学时,他也考了高等师范学

校,幸好考取了。1830 年,19 岁的枷罗华,进入高等师范学校学习。就在这

年的 7 月,路易—菲力浦篡权上台。

生气勃勃的伽罗华,是个激进的共和主义者,他和他的战友向篡夺政权

的路易——菲力浦王朝,展开了激烈的斗争。

这年 12 月,入学不久的伽罗华被学校开除了。

被开除后,伽罗华以为人补习数学为业,但他的革命斗志更旺。1831 年

六月,他被捕了,罪名是企图暗杀国王。由于警方拿不出证据,只好释放了

他。但是紧接着在七月间,伽罗华第二次被捕,并且被投入监狱,一直关到

了 1832 年春天,因为监狱里流行传染病,才把他释放出狱。

半年多的监狱生活,使这个 21 岁的青年身心受到了严重的摧残。他的姐

姐回忆说,那时伽罗华面色憔悴,两眼发呆,活像一个 50 岁的老头。

出狱后一个月,反动派设下圈套,让伽罗华与路易—菲力浦王朝的一个

反动军官决斗,被击中致命处,第二天——1832 年 5 月 31 日早晨,不满 21

岁的伽罗华离开了人世。

伽罗华短促的一生,像一闪而过的明星,照亮了近世代数学前进的道路!

在决斗前夕,伽罗华把他的研究工作写成扼要的信件,托朋友转交《百

科评论》杂志发表。这封信在他逝世之后 4 个月发表了,但是没有引起人们

的重视。

伽罗华在他仓促写成的信中,希望他的朋友把他的研究成果交给当代的

大数学家,信末有这样的话:“你可以公开请求雅可比或者高斯不是对于这

些定理的真实性,而是对于其重要性表示意见。在这以后,我希望有一些人

将会发现,把这堆东西注释出来对他们是有益的。”据后来的调查,这些资

料在当时并没有交给这两位数学家。

在伽罗华逝世后 14 年的 1846 年,法国数学家柳维勒,从伽罗华的弟弟

那里得到了一些伽罗华的手搞,并且把它发表在自己创办和编辑的数学杂志

上。从此,伽罗华的思想才逐渐引起人们注意和理解。以后,人们又从伽罗


华的姐姐、弟弟那里,搜集到他遗留下来的全部手稿。这不到 80 页的手稿,

是伽罗华给人类留下的十分宝贵的财富。数学家在这个基础上,开始注释、

追踪、研究和发展伽罗华所开创的工作。

到 19 世纪晚期,伽罗华所开创的数学工作,逐渐形成了数学的一个重要

的分支——近世代数学,又叫做抽象代数学。因为它已经成为了近代代数学

的主要内容,所以也有人干脆就叫它代数学的。它的主要内容,包括群论、

环论、域论、布尔代数,以及共他代数系统的重要理论。这些理论,是近世

代数学的伟大成就,并且在科学技术中有广泛的应用。

伽罗华是群论的奠基人。以伽罗华的名字命名的伽罗华理论,使得五次

以上的代数方程,不可能有一般的根式解,初等几何作图三大难题,以及高

斯关于正多边形作图的定理等等,都不过是一些明显的推论或者简单的例

题、习题了。

今天,大学生在学了伽罗华理论后,稍带就证明了三等分角、立方倍积

与化圆为方,是规尺作图的不可能问题。

在规尺作图三大难题中,化圆为方问题是最后得到解决的。

根据伽罗华理论,如果π是超越数,那么,化圆为方是规尺作图的不可

能问题。可是,数学家拖了很长的时间,才证明了π是超越数,这就相应地

推迟了化圆为方问题的解决。

什么是超越数?这个概念,首先是由著名数学家欧拉提出来的。比如圆

周率π是我们很熟悉的。我国南北朝时的数学家祖冲之,计算出π的值在

3.1415926 与 3.1415927 之间。π的值这样算下去,它是有尽小数呢?还是

无穷小数?如果是无穷小数,那么,是不是循环小数呢?如果能证明π是不

循环的无尽小数,那就是无理数了。

无理数有不同的情况。像 2是x2 - 2 = 0的根, −3  3是x3 + 2 = 0的根,

7 − 4 3 是x2 - 4x + 1 = 0的根。数学的定义规定:凡是能满足某个整系数

代数方程。的实数,叫做代数数;凡不是代数数的实数,都叫做超越数。

由此可见,超越数必然都是无理数;但是一个无理数是不是超越数,那

就需要证明了。人们发现,要证明π是一个无理数并不太困难,要证明π是

一个超越数,却是一个很难的题目。

直到 1882 年德国数学家林德曼才证明了π是超越数,使方圆问题是规尺

作图的不可能问题,得到证明。

到此,初等几何三大难题全部彻底解决。

这三大难题,从传说中的第罗斯岛人改造祭坛的年代起,到 19 世纪末

叶,前后经历了 2000 多年。在全世界的几十代人的努力中,不知有多少人为

它绞尽脑汁,熬尽心血,吃尽苦头,耗尽精力,才夺得最后的解决。

这真是得来不易的胜利啊!

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