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五次方程的挑战

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

五次方程的挑战


初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词,是九世纪时亚细亚

的数学家阿里・花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词,是从阿里・花

拉子模那里来的。我国从 1711 年清朝康熙五十年起,先后音译作“阿尔朱巴

尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859 年清朝咸丰九年,李善兰

与伟烈亚力合译的《代数学》,是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。

前面已经说过,解析几何的出现,使人们可以通过解代数方程来解答几

何问题。因此,规尺作图三大难题的解决,同代数方程的解挂上了钩。

公元三世纪的希腊数学家丢番都和九世纪的阿里・花拉子模,都求得二

次方程 ax2+bx+c=0 的解为

x = − b ± b2 − 4ac

2a

但是,很多数学史的书上只说阿里・花拉子模是世界上最先求得二次方

程一般解的人,原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时,

方程才能算有解,并且丢番都只承认正根。

到了 16 世纪,意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利,相继发表了用

根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时

曾声明,公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元 1500


年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究,几经转折,为塔尔利亚完全掌握,

在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的,但六年后,卡尔丹给出证明发表了。

数学界称这个公式为卡尔丹公式。

由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程,都能通过根式求它的一

般解,于是很多数学家,争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历 16

世纪的后半叶、17 世纪、18 世纪,直到 19 世纪初,很多数学家和数学爱好

者,都把它作为检验自己才能的试金石,可是毫无例外,他们都失败了。

根式解法虽然没有找到,可是人们却积累了很多的经验和知识,特别值

得一提的,是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多

的工作,而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程,

是不可能解决的问题之一。可是,他对不可能没有给出什么证明,他就这个

问题的困难性说:“它好像是在向人类的智慧挑战。”

人类的智慧终于夺得了胜利。

在拉格朗日去世后 11 年的 1824 年,挪威 22 岁的数学家阿贝尔,证明了

一般五次以上的代数方程,它们的根式解法是不存在的。这就是说,除了某

些特殊的五次以上的方程,可以用根式解外,许多五次以上的方程,把它的

系数看成字母,无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式,都不可能是

这个方程的根。延续 300 年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界!

阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解;另一方面也可以举例证

明,有的方程能用根式解。于是,能用根式解或者不能用根式解的方程,到

底用什么来判断呢?阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受

贫困折磨。身体十分虚弱,在 27 岁上,就害痨病死了。

科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后

的第二年,完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促,只活了 21

岁。

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