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用代数方法研究几何图形

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

用代数方法研究几何图形


数学和其他科学的发展一样,不少长期解决不了的问题,一旦出现了新

的认识,或者把它们放到更大的范围去观察,常常很快就找到了解决问题的

途径和方法。解析几何的出现,是规尺作图三大难题走向解决的转析点。

解析几何是 17 世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和 2000 年前的柏

拉图一样,都是哲学家兼数学家,他们都形成了各自的学派,有的数学史说:

柏拉图主义者相信权威,笛卡儿学派相信理性,但是他们同样认为数学是科

学之王。

1637 年,笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲

学著作《方法论》一书的附录出版的,书中引入了变数,创始了解析几何。

在初等数学中,基本的情况是几何是几何,代数是代数。人们研究和处

理几何和代数问题,就方法而言是不同的。比方说,在平面几何中,要考查


2n

    +1

 +1=3

 +1=5

 +1=17

 +1=257

16

    +1=65537

三点是否共线,或者四点是否共圆,虽然有时也利用某些代数知识,但是一

般不讨论直线或者圆的方程,以及它们的解。

解析几何是用代数方法来研究几何图形,通过建立坐标系,在几何与代

数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁,人们就可以把几何问题先“翻译”

成代数题目,例如写出它们的方程,用代数的方法加以解决;之后,再把得

到的结果,“翻译”成几何的答案。这样,就不只增加了解决几何问题的思

路和方法;而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚,使这些几何题化

难为易了。

解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面,最

先突破的是高斯。

1795 年,高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久,他就按规尺

作图法,作出了正十七边形。不久,他又提出理论,证明了按规尺作图方法,

根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这

些问题,都是延续了 2000 多年没有得到解决的难题,被年轻的高斯解决了。

特别是关于规尺作图法的不可能问题,是一项惊人的成就。他从思想方法上,

促进了规尺作图三大难题的研究和解决。

数学难题的解决,往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果,

先得了解一下费尔马数。

费尔马是一个很有成就的数学家,提出过很多著名的定理。他还与笛卡

儿同时奠定了解析几何的基础;与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作;在

光学中提出了费尔马极小时间原理;在数学中提出过无限下推法。不过,费

尔马的不朽贡献,主要是在数论方面。

在费尔马一生的大量成就中,也包含着两项影响较大的不确切的工作;

一项是他的一个猜想,被证明是错误的;另一项就是前面谈到的近代三大数

学难题之一的费尔马大定理,在他宣称被他证明了的 300 年之后,人们还没

有找到证明的方法,于是很多人便对他宣称有过的证明明表示了怀疑。这里

先介绍前一个猜想。

费尔马研究了形如 22n+1 的数,共中 n 是非负整数。他令 n 分别等于 0,

1,2,3,4,得到相应的 22n+1 如下表:



在这个表中,所有形如 22n+1 的数:3,5,17,257,65537 都是素数。

于是,费尔马发表猜相:形如 22n+1 的数,当 n 为非负整数时,都是素数。

后来,在数论中,把这样的数都称为费尔马数,记作 Fn,即 Fn=22n+1,

n 为非负整数。

但是,费尔马死了 67 年之后的 1732 年,25 岁的数学家欧拉,证明了 F5

不是素数:

F5=25n+1=232+1

=4294967297

=641×6700417

这样一来,就把费尔马的猜想给否定了。在欧拉那个时候,人们要判断


F5 是不是素数,还是相当困难的,因为事先并不知道要判断 641 是不是它的

因数。

后来,人们分别证明了 n 等于 6 到 16 的费尔马数,都不是素数;n 等于

17 时是不是素数,到现在还是一个难题。n 等于 18 以后,也分别找出了三四

十个不是素数的费尔马数。

总之,除了原来已经知道的 n 等于 0 到 4 的这五个费尔马数是素数外,

新的费尔马数是素数的,一个也没有找着。

这样,有一种相反的猜想已经提出来了:只有有限个费尔马数是素数。

这也是一个难题。

高斯按规尺作图法作出了正十七边形后,紧接着就证明了一个关于规尺

作图的重大定理:

如果一个奇素数 P 是费尔马数,那么,正 P 边形就可以用规尺作图法作

出,否则就作不出来。

根据这个定理,F0=3,F1=5,F2=17,所以正三角形、正五边形、正十七

边形都能作出,而 7,11,13 等素数都不是费尔马数,所以正七边形、正十

一边形、正十三边形等都不能作出。

对应于 F3 的正 257 边形,是德国的黎克洛于 1832 年,用规尺作图法作

出来的;对应 F4 的正 65537 边形,经德国的赫尔姆斯十年的研究,才按规尺

作图方法作出来。黎克洛的作法,占了一本数学杂志的 80 页;而赫尔姆斯的

手搞,装了整整一个手提箱,现在还保存在哥庭根大学。

高斯在数学的许多领域中,都作出了杰出的贡献,被称为“数学之王”。

他一生工作严谨,生活简朴,坚持每天读报,喜爱文学和研究过多种外语,

并且在物理学、天文学、测绘学方面,都作出了重要贡献。

高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正十七边形(也

有的书上说是墓碑的底座是正十七边形),以纪念他少年时代杰出的数学发

现。

高斯的墓碑,也是解决规尺作图难题,在 2000 多年间的一块里程碑。

正多边形的作图问题,其实就是等分圆周的问题,它与三等分角问题有

不少相似的地方。有了解析几何,有了高斯等数学家的经验,人们对规尺作

图可能作出的与不可能作出的图形,逐渐有了深入的认识。其中,下面两个

结论是很重要的:

1.在规定某一线段的长度是单位长度 1 后,如果我们要作的线段的长

度,可以由单位长度 1,经过有限次的加、减、乘、除、开平方(指正数开

平方,并且取正值)后得出来,那么,这一线段就能用规尺作图法作出;

2.圆规直尺作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、

乘、除及开平方所能作出的线段或者点。

举一个例子,要考查圆内接正五边形是否可以作出,我们取圆的半径为



1,计算得圆的内接正五边形的一边长为


10 − 2 5

2


,这合乎第一条,所以规


尺作图法作圆内接正五边形是可能的。

再举一个例子,取一个线段的长为1,问求作长为 3 9 3 − 11 2 的线段可

能吗?

这里要开三次方,根据第二条规定,规尺作图法只能作出经有限次加、



减、乘、除及开平方的线段,看来这条线段作不出。

错了!因为



3

=3

=3


9 3 − 11 2

3 3 − 3 2 + 6 3 − 2 2

( 3) 3 − 3( 3) 2 + 3 3( 2) 2 − ( 2 )3



=3


( 3) 3 − ( 2 )


3



= 3 − 2

根据第一条,这条线段能作出。你如果有兴趣,不妨一试,把这一线段

作出来。

这两个例子说明,要证明一条线段能作出要容易些,要证明一条线段不

能作出却困难得多。

但是,标准有了,三大作图难题的解决就提上日程了。

1837 年,23 岁的马彻尔提出了立方倍积与三等分任意角,不可能用规尺

作图法解决的证明,宣布了 2000 多年来,人类征服初等几何三大难题夺得了

重大的胜利。

我们知道,虽然有些角(例如直角)查以用规尺作图法三等分,但是有

些角不可以(例如 30°角),所以要按规尺作图法三等分任意给定的角,就

不可能了。

事实上,在 1830 年,19 岁的法国数学家伽罗华,就提出了解决这一类

问题的系统理论和方法,所以现在的专门著作,一般着重讲伽罗华理论,而

把规尺作图三大难题以及等分圆周等问题的解决,当成这种理论的推论、例

题或者习题。因此,后来对万彻尔的工作,并不十分注意。

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