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韦达定理

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

韦达定理


韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特,曾经在法王亨利四世手下任

职,还当过律师,数学原本只是他的业余爱好,但就是这个业余爱好,使他

取得了伟大的成就。

他在数学方面的主要贡献有,第一次用字母代替已知量,确定了符号代

数的原理和方法,使当时的代数学系统化,并把代数学作为解析的方法使用,

因此有“代数学之父”之称。

在几何学方面,他利用阿基米德的方法,通过多边形来计算圆周率π,

在计算中,他使用了 393216 边形,得到π的近似值为

3.141592653……。精确到小点后面的第 9 位,是第一个超越祖冲之的人

(祖冲之当时算到第六位)。

韦达不仅是一个数学家,而且还是一个破译密码的专家。他在法国政府

任职时,曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码,对法

国战胜西班牙起了重要作用,这样引起了西班牙国王的大怒,致使菲利蒲二

世认为是法国人使用了什么“巫术”,因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。

青少年朋友们在初中学了一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

方程的根α,β和系数 a、b、c 的关系式是



α + β = − b , αβ =

a


c

a


这就是我们熟悉的韦达定理。

但是这种说法不是很确切。请看下面几个定理的发表时间就清楚了。

定理 1.一元二次方程

ax2+px+q=0

两个根为α和β,则

α+β=-p,αβ=q

定理 2.一元三次方程

x3+px2+qx+r=0

的三个正根是α、β、γ,则

α+β+γ=-p,αβ+βγ+αγ=q,αβγ=-r

定理 3.一元 n 次方程

xn+axn-1+axn-2+xn-3+…+an-1x+an=0 的 n 个正根为 x1,x2,x3,…xn,则

x1+x2+x3+…xn=-a1

x1x2+x1x3+x1x4+…x2x3+x2x4+…xn-1xn=a2

x1x2x3+x1x2x4+…+x2x3x4+x2x3x5+…+xn-2xn-1xn=-a3……。


x1x2…xn=(-1)nan

定理 4.(把定理 2 中的“正”字去掉就得到定理 4)

定理 1 的发表时间在历史上没有记载,然而定理 2 却是意大利数学家卡

丹(1501~1576 年)在 1545 年发表的,所以定理 1 应在此之前,而法国数

学家的创作年代应在 1550 年之后,因此定理 2 也不应当是韦达的功劳。只有

定理 3 才是韦达于 1559 年之后发表,但却有一个“正”字,直到 1629 年,

那个“正”字才被荷兰数学家基拉德(1595~1632 年)删掉,才使这个定理

完整化,而这时韦达已离开人世 20~30 年之久了。

从这几个定理发表的时间来看,虽然定理 1 不是韦达发现,但对于这个

定理他的贡献是很大的,所以用他的名字命名是有一定道理的。但为了慎重

起见,因此我国中学教材已不再使用此名了,还是称作“根与系数的关系”。

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