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出入相补原理

时间:2019-09-30    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

出入相补原理


我国古代几何学不仅有悠久的历史,丰富的内容,重大的成就,而且有

一个具有我国自己的独特风格的体系,和西方的欧几里得体系不同。这一几

何体系的全貌还有待于发掘清理,本文仅就出入相补原理这一局部方面,就

所知提出几点,主要根据是流传至今的以下各经典著作:

《周髀算经》(简称《周髀》),

《九章算术》(简称《九章》),

刘徽《九章算术注》(简称《刘注》),

《海岛算经》(简称《海岛》),

赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》(简称《日高说》和《勾股说》)。

田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源,这和外国没有什么不

同,二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出

体积问题。

我国古代几何学的特色之一是,依据这些方面的经验成果,总结提高成

一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理,并且把

它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。

以下将列举这些不同的应用。

所谓出入相补原理,用现代语言来说,就是指这样的明显事实:一个平

面图形从一处移置他处,面积不变。又若把图形分割成若干块,那么各部分

面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单

的相等关系。立体的情形也是这样。

应用这一原理,容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的

公式,由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例,,如果看作把△ACD

移置△ACB,又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′,那么依出入相补原理有:

Ⅲ=Ⅲ′,□PC=□BO,……(指面积相等)由此得

PO× OS=RO× OQ ,PQ ×QC=RB × BC, … … 而 PO=AR, OS=QC, PQ=AB ,

RB=OQ,……因而 AR:OQ=RO∶QC,AB∶OQ=BC∶QC,……就是相似勾股形 ABO

和 OQC、ABC 和 OQC 的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。

以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出,但是曾经多处

用这些关系来解决各种具体问题。

在《周髀》中,就有用两表测日影以求日高的方法,计算的公式是:



日高 =


表高×表距

影差


+ 表高



其中 A 是日,BI 是地平面,ED、GF 是先后两表,DH 和 FI 是日影。《海

岛》改测日高为测海岛的高,同图 AB 是海岛,H、I 是人目望岛顶和两表上

端相参合的地方,于是日高公式成为:



岛高 =


表高×表距

表目距的差


+ 表高



明末耶稣会传教士利玛窦(1552~1610)来我国,他的主要学术工作之




(1)三角形面积 =


1

2


×高×底,


由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形,如果规定

长方体的体积是长、广、深的积,是否依据出入相补原理,可以推得



(2)四面体体积 = 1

3


×高×底面面积,


由此以建立多面体的体积理论,就不是那么明显而极其困难的问题。欧

洲直到 19 世纪末,才把它作为一个难题明确地提了出来。公元 1900 年德国

数学家希耳伯特(1862~1943)在国际数学会上所作著名讲演中,把体积理


论列为 23 个问题之一。这一问题立即为德恩(1878~1852)所解决,答案是

否定的:两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体,必须满足某些条件,

通称德恩条件。自此以后直到 1965 年,一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩

条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近,

多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复

杂,也难认为是合宜的最后形式。

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